Dãy giản phân của số thực Liên_phân

Dãy giản phân của số thực Liên_phân_số

Cho số thực r có dạng phân số liên tục là: [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a n − 1 , a n , … , ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n},\,\ldots ,]} (có thể hữu hạn hoặc vô hạn).

Từ công thức biểu diễn trên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn) hội tụ đến r, dãy này gọi là dãy giản phân:

h 0 k 0 = a 0 1 ; {\displaystyle {\frac {h_{0}}{k_{0}}}={\frac {a_{0}}{1}};}

h 1 k 1 = [ a 0 ; a 1 ] = a 0 + 1 a 1 = a 0 a 1 + 1 a 1 ; {\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}=[a_{0};a_{1}]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}}={\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}};}

h 2 k 2 = a 2 ( a 1 a 0 + 1 ) + a 0 a 2 a 1 + 1 ; {\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}};}

h 3 k 3 = a 3 ( a 2 ( a 1 a 0 + 1 ) + a 0 ) + ( a 1 a 0 + 1 ) a 3 ( a 2 a 1 + 1 ) + a 1 ; {\displaystyle {\frac {h_{3}}{k_{3}}}={\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}};}

...

h n k n = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a n − 1 , a n ] ; {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n-1},a_{n}];} (*)

...

Đặt r n = h n k n {\displaystyle {r_{n}}={\frac {h_{n}}{k_{n}}}} .

Ví dụ, dãy giản phân của 0,84375 (dạng liên phân số là [0;1,5,2,2]):

[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
1	3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}	4 5 {\displaystyle {\tfrac {4}{5}}}	5 6 {\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}	11 13 {\displaystyle {\tfrac {11}{13}}}	16 19 {\displaystyle {\tfrac {16}{19}}}	27 32 {\displaystyle {\tfrac {27}{32}}}

Dãy giản phân { h n k n {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}} } có các tính chất sau:

Tính hội tụ của dãy

Dãy { h n k n {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}} } hội tụ, và giới hạn của nó là r.

Công thức truy hồi

Trước hết ta xét 1 tính chất khá lý thú:

Với số thực bất kì x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }

[ a 0 ; a 1 , … , a n − 1 , x ] = x h n − 1 + h n − 2 x k n − 1 + k n − 2 . {\displaystyle \left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.}

Từ tính chất trên có thể tính h n , k n {\displaystyle {h_{n}},{k_{n}}} theo công thức tổng quát (*), hoặc theo công thức truy hồi sau (chứng minh xem bằng quy nạp rất đơn giản):

h n = a n h n − 1 + h n − 2 {\displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,}			h − 1 = 1 {\displaystyle h_{-1}=1\,}		h − 2 = 0 {\displaystyle h_{-2}=0\,}
k n = a n k n − 1 + k n − 2 {\displaystyle k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,}			k − 1 = 0 {\displaystyle k_{-1}=0\,}		k − 2 = 1 {\displaystyle k_{-2}=1\,}

Liên hệ giữa tử số và mẫu số

Nếu giản phân thứ n là h n / k n {\displaystyle h_{n}/k_{n}} , thì

k n h n − 1 − k n − 1 h n = ( − 1 ) n . {\displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,}

Hệ quả: h n k n {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}} là phân số tối giản.

h n k n − h n − 1 k n − 1 = h n k n − 1 − k n h n − 1 k n k n − 1 = − ( − 1 ) n k n k n − 1 . {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}={\frac {-(-1)^{n}}{k_{n}k_{n-1}}}.}

Khoảng cách trong dãy giản phân xây dựng bởi liên phân số của r

Nếu mà chỉ số với s < t < n thì:

| r s − r n | > | r t − r n | {\displaystyle \left|r_{s}-r_{n}\right|>\left|r_{t}-r_{n}\right|} .

Sự biến thiên của dãy

Các phân số ở vị trí chẵn ( h 0 k 0 {\displaystyle {\frac {h_{0}}{k_{0}}}} , h 2 k 2 {\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}} ,...) luôn bé hơn r, và tăng dần:

h 0 k 0 {\displaystyle {\frac {h_{0}}{k_{0}}}} < h 2 k 2 {\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}} < h 4 k 4 {\displaystyle {\frac {h_{4}}{k_{4}}}} <...< r.

Các phân số ở vị trí lẻ ( h 1 k 1 {\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}} , h 3 k 3 {\displaystyle {\frac {h_{3}}{k_{3}}}} ,...) luôn lớn hơn r, và giảm dần:

h 1 k 1 {\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}}} > h 3 k 3 {\displaystyle {\frac {h_{3}}{k_{3}}}} > h 5 k 5 {\displaystyle {\frac {h_{5}}{k_{5}}}} >... > r.

Độ xấp xỉ của các giản phân so với số thực mà chúng xấp xỉ

Các tính chất ở trên cho phép ta đánh giá độ sai số của các giản phân trong chuỗi so với số thực ban đầu

1 k n ( k n + 1 + k n ) < | r − h n k n | < 1 k n k n + 1 . {\displaystyle {\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|r-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}.}

Chứng minh

Chứng minh vế phải của bất đẳng thức (chứng minh này được trích dẫn từ [1]):

| z − h n k n | < 1 k n . k n + 1 {\displaystyle |z-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}|<{\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}} (**)

Với

h n k n = a 0 + {\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}=a_{0}+} Σi=0→(n-1) ( − 1 ) i k i . k i + 1 {\displaystyle {\frac {(-1)^{i}}{k_{i}.k_{i+1}}}} | z − h n k n | = | {\displaystyle |z-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}|=|} Σi=n→+∞ ( − 1 ) i k i . k i + 1 | {\displaystyle {\frac {(-1)^{i}}{k_{i}.k_{i+1}}}|} .

Từ công thức:

k i + 2 = a i + 2 . k i + 1 + k i > k i + 1 {\displaystyle k_{i+2}=a_{i+2}.k_{i+1}+k_{i}>k_{i+1}} , suy ra 1 k i . k i + 1 > 1 k i + 1 . k i + 2 {\displaystyle {\frac {1}{k_{i}.k_{i+1}}}>{\frac {1}{k_{i+1}.k_{i+2}}}} với mọi i ≥ 0. (***)

Áp dụng (***):

| {\displaystyle |} Σi=n→+∞ ( − 1 ) i k i . k i + 1 | {\displaystyle {\frac {(-1)^{i}}{k_{i}.k_{i+1}}}|} = 1 k n . k n + 1 − 1 k n + 1 . k n + 2 + 1 k n + 2 . k n + 3 − 1 k n + 3 . k n + 4 + … + 1 k n + 2 i k n + 2 i + 1 − 1 k n + 2 i + 1 . k n + 2 i + 2 + … {\displaystyle ={{\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}-{\frac {1}{k_{n+1}.k_{n+2}}}}+{{\frac {1}{k_{n+2}.k_{n+3}}}-{\frac {1}{k_{n+3}.k_{n+4}}}}+\ldots +{{\frac {1}{k_{n+2i}k_{n+2i+1}}}-{\frac {1}{k_{n+2i+1}.k_{n+2i+2}}}}+\ldots } < 1 k n . k n + 1 − 1 k n + 1 . k n + 2 + ( 1 k n + 1 k n + 2 − 1 k n + 2 k n + 3 ) + 1 k n + 2 . k n + 3 − 1 k n + 3 . k n + 4 + ( 1 k n + 3 k n + 4 − 1 k n + 4 k n + 5 ) + … + 1 k n + 2 i k n + 2 i + 1 − 1 k n + 2 i + 1 . k n + 2 i + 2 + ( 1 k n + 2 i + 1 k n + 2 i + 2 − 1 k n + 2 i + 2 k n + 2 i + 3 ) + … {\displaystyle <{{\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}-{\frac {1}{k_{n+1}.k_{n+2}}}}+({{\frac {1}{k_{n+1}k_{n+2}}}-{\frac {1}{k_{n+2}k_{n+3}}}})+{{\frac {1}{k_{n+2}.k_{n+3}}}-{\frac {1}{k_{n+3}.k_{n+4}}}}+({{\frac {1}{k_{n+3}k_{n+4}}}-{\frac {1}{k_{n+4}k_{n+5}}}})+\ldots +{{\frac {1}{k_{n+2i}k_{n+2i+1}}}-{\frac {1}{k_{n+2i+1}.k_{n+2i+2}}}}+({{\frac {1}{k_{n+2i+1}k_{n+2i+2}}}-{\frac {1}{k_{n+2i+2}k_{n+2i+3}}}})+\ldots } = 1 k n . k n + 1 + ( − 1 k n + 1 . k n + 2 + 1 k n + 1 k n + 2 ) + ( − 1 k n + 2 k n + 3 + 1 k n + 2 . k n + 3 ) + ( − 1 k n + 3 . k n + 4 + 1 k n + 3 k n + 4 ) + ( − 1 k n + 4 k n + 5 + 1 k n + 4 k n + 5 ) + … + ( − 1 k n + 2 i + 1 . k n + 2 i + 2 + 1 k n + 2 i + 1 k n + 2 i + 2 ) + … {\displaystyle ={\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}+(-{\frac {1}{k_{n+1}.k_{n+2}}}+{\frac {1}{k_{n+1}k_{n+2}}})+(-{\frac {1}{k_{n+2}k_{n+3}}}+{\frac {1}{k_{n+2}.k_{n+3}}})+(-{\frac {1}{k_{n+3}.k_{n+4}}}+{\frac {1}{k_{n+3}k_{n+4}}})+(-{\frac {1}{k_{n+4}k_{n+5}}}+{\frac {1}{k_{n+4}k_{n+5}}})+\ldots +(-{\frac {1}{k_{n+2i+1}.k_{n+2i+2}}}+{\frac {1}{k_{n+2i+1}k_{n+2i+2}}})+\ldots } = 1 k n . k n + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … . + 0 + 0 + … {\displaystyle ={\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}+0+0+0+0+\ldots .+0+0+\ldots } = 1 k n . k n + 1 {\displaystyle ={\frac {1}{k_{n}.k_{n+1}}}} .

Suy ra (**) đúng.